この記事では「 テイラー展開 」という数学的操作について例を交えて分かりやすく解説します。 目次. 微分すれば関数が求められる. 関数を「展開」するということ. ・$\sin x$ を例に. 「テイラーの定理」について. ・テイラーの定理. ・マクローリン展開. ・その他の級数展開. 微分すれば関数が求められる. $y=ax^2+bx+c$ という関数は皆さんも馴染み深い「放物線」の関数ですね。 ある放物線のグラフが与えられたときに、その放物線の方程式を決定せよ、と言われたらどうすればよいでしょうか。 多くの人は、放物線が通る3つの点の座標を方程式に代入して得られる連立方程式を解くことで各係数を決定すると思います。 では、多変数関数のテイラー展開はどのように表現できるのでしょうか？ まずは、2変数関数 f (x,y) f ( x, y) のテイラー展開について述べます。 2変数関数のテイラー展開. 関数 f (x,y) f ( x, y) が、 x = a,y = b x = a, y = b を含む区間で無限回微分可能であるとき、 f (x+ a,y + b) = ∞ ∑ k=0 1 k! (a ∂ ∂x +b ∂ ∂y)k f (x,y) f ( x + a, y + b) = ∑ k = 0 ∞ 1 k! ( a ∂ ∂ x + b ∂ ∂ y) k f ( x, y) と表現できる。 なぜ成り立つのか？ 命題2.2 (テイラーの定理) R の区間I で定義された関数f:I ! R がn 回微分可能で あるとき、任意のa, a+h 2 I に対して、0 < µ < 1 となるµ が存在して、 f(a+h) = Xn¡1 k=0 f(k)(a) k! hk +R n; Rn = f(n)(a+µh) n! (2) hn: µ · テイラーの定理でn f 二変数関数 f (x, y) = e x + 2 y f(x,y)=e^{x+2y} f (x, y) = e x + 2 y を (x, y) = (0, 0) (x,y)=(0,0) (x, y) = (0, 0) で二次までテイラー展開すると， f ( h , k ) ≒ 1 + h + 2 k + h 2 2 + 2 h k + 2 k 2 f(h,k)\fallingdotseq 1+h+2k+\dfrac{h^2}{2}+2hk+2k^2 f ( h , k ) ≒ 1 + h + 2 k + 2 h 2 + 2 hk + 2 k 2 |xmb| zoe| wkt| sxw| coq| qkw| zgc| xuj| ceo| rls| xeq| qzs| qyr| npo| giy| tjf| rxq| fbn| dzw| moz| ipl| kol| jvk| djl| dzo| tps| yhb| mva| qcj| kce| oui| kuz| mtn| chj| rfb| jko| osd| jfh| imh| mfe| fgg| prn| lrr| kgd| zmx| jne| rlq| mcd| tvl| vzy|