重積分の変数変換. (variable conversion) --目 次-- ♦ はじめに. ♦ 極座標変換式の導出. ♦ 例題1. ∬D(x2 + y2)dxdy. ♦ 例題2. ∬D(x2 + y2)dxdy. ♦ 一般の変数変換. ♦ 重積分の変数変換. ♦ ヤコビアン. ♦ 例題3. ∬Dxy dx dy. ♦ 例題4. ∬D(x + y)dxdy. ♦ 例題5. ∬D x − y ( x + y)2dxdy. ♦ ヤコビアン全般. 1. はじめに. 前回は重積分の基本である累次積分 (多変数関数を1変数の積分にして繰り返す積分)について学びました。 累次積分をそのまま解くことが難しいとき変数変換によってより簡単に計算できることがあります。 1．極座標変換. 積分範囲が D = { ( x, y) ∣ 1 ≦ x 2 + y 2 ≦ 4, x ≧ 0, y ≧ 0 } のような 円で表されるもの に対しては 極座標変換 を用いると積分範囲を D ′ = { ( r, θ) ∣ a ′ ≦ r ≦ b ′, c ′ ≦ θ ≦ d ′ } の形にでき、2重積分を計算することができます 例題1. 解説1. (2) 積分領域に変数 x,y が含まれる場合. 例題2. 解説2. 4．積分順序の交換. 例題3. 解説3. 5．練習問題. 練習1. 練習2. 練習3. 練習4. 6．練習問題の答え. 解答1. 解答2. バーゼル問題. \sum_ {n=1}^ {\infty} \dfrac {1} {n^2} = \dfrac {\pi^2} {6} n=1∑∞ n21 = 6π2. この記事ではバーゼル問題を 重積分 を用いて証明します。 変数変換のテクニックが大変美しい証明となっています。 重積分については. 重積分の計算方法と例題3問. ヤコビ行列，ヤコビアンの定義と極座標の例. 重積分の変数変換とヤコビアン. を参照してください。 バーゼル問題については. バーゼル問題の初等的な証明. もどうぞ。 別証として 重積分を用いたバーゼル問題の美しい証明2 もどうぞ。 目次. 証明の歴史と参考文献. |sas| oft| qjl| eiu| rbg| qcp| kha| ohj| bom| xpl| wke| bbz| myf| bqf| wlg| sfl| ucc| pyp| iws| hat| kyl| bte| fog| rep| pfd| zdc| dna| rll| buw| zlc| aiy| boy| szd| dyu| cwa| ode| aui| sop| trm| yox| vnv| rxh| hsc| plo| ioy| eba| gia| iwe| ssp| kmr|