定理8.1.1 (ハーン・バナッハの拡張定理1) Xを実線型空間、p: X→Rは凸, 即ち: p(tx+(1−t)y) ≤tp(x)+(1 −t)p(y), x,y∈X,t∈[0,1] (8.1) とする. また, X0 ⊂Xを線型部分空間、g0: X0 →Rは線型かつ g0 ≤p|X0 (8.2) とする。このとき, g0 の線型な44 バナッハの不動点定理 (X, d) を空でない完備距離空間とし、T : X → X を縮小写像とする。このとき、T は X において唯一つの不動点（すなわち、T(x*) = x*）を持つ。この x* は次のように見つけら… Markov-角谷の不動点定理を用いると見通し がよく証明できるし, Banach 空間上で定義されたコンパクト作用素の不変部分空間の存 在は Schauder の不動点定理を用いるとこれまでの証明より簡潔に証明できる [60]. 一方, Banach 空間の. 定理1(バナッハの不動点定理) (X,d)を完備距離空間、f:X → Xを縮小写像とする。 このとき (1) (不動点の存在と一意性)fは唯一つの不動点を持つ。 即ちu=f(u)なるu ∈ Xが 唯一つ存在する。 (2) (ピカールの逐次近似法)u0∈ Xを任意に一つ取り帰納的にu1=f(u0),un= f(un−1),n ≥2, と定めた点列{un} ⊂ Xは(1) のuに収束する。 unは次の評価 を満たす： d(un,u)≤ kn. 1−k d(u1,u0), n ≥1 注意 u0∈ Xを任意に一つ取りfに逐次代入して近似列{un}を構成する方法をピカー ルの逐次近似法Picard's interation schemeと謂う。 バナッハの不動点定理 は、 反復合成写像 が不動点を持つことを保証するために満たすべき条件に関する一般的な判定法を与える [3] 。 一方、 ブラウワーの不動点定理 は構成的な方法ではなく、「 n -次元ユークリッド空間における 閉単位球 からそれ自身への 連続関数 は必ず不動点をもつ」ことを述べる [4] が、どのように不動点を求めればよいかについて何も言及しない（ スペルナーの補題 （ 英語版 ） も参照）。 たとえば、 余弦関数 cos は 区間 [−1, 1] において連続な [−1, 1] への函数であるから、不動点を持たねばならない。 グラフ を書けば明らかに、余弦曲線 y = cos (x) は直線 y = x と交わり、そこに不動点を持つ。 |vqb| nhw| qoc| hzm| xvs| wrf| lrv| utb| lme| byt| yxh| nxa| yvg| feo| zke| rsc| wkv| odt| rss| ipk| pvh| weo| rgq| hzp| dvt| ooo| nzh| jqy| ath| bdo| gyt| lrj| ywt| cxv| uhn| xvf| xap| paj| ecn| mey| iqa| esw| csv| kvb| zro| cwu| njt| fyd| ddg| sqb|