この章では正規部分群の定義と、基本的な性質について述べる。 入門テキスト「群論の基礎」 群論の基礎1：群の定義. 群論の基礎2：部分群. 群論の基礎2.5：様々な群. 群論の基礎3：正規部分群. 群論の基礎4：準同型定理. 群論の基礎5：群の作用. 群論の基礎6：シローの定理. 目次. 1 定義 3.1 (左剰余類・右剰余類) 2 命題 3.2 (右剰余類と左剰余類の数は等しい) 3 定義 3.3 (指数) 4 命題 3.4 (左 (右)剰余類と部分群の元の個数は一致する) 5 定理 3.5 (ラグランジュの定理) 6 命題 3.6 (部分群と元の位数は約数) 7 命題 3.7 (有限群の指数の連鎖律) 8 命題 3.8 (素数位数の群は巡回群) 9 定義 3.9 (正規部分群) 今回扱う 正規部分群 というのはこの剰余類の集合が, もとの群 の演算により自然に群になるような部分群のことをいいます. まあ, 定義を見てみましょう. 定義 1. ( 正規部分群) 群 の部分群 が. を満たすとき の 正規部分群 といい, とかく. またこれは. とみてもいいです. 本によりいろんな形の定義の書き方があるかと思います. 定義からまず次のことがすぐにわかります. 命題 2. が 群なら任意の部分群は 正規部分群 である. 証明 を任意の部分群とする. 任意の に対して. より は 正規部分群 である. (終) また自明な部分群も 正規部分群 になります. 他にも 正規部分群 の例を見ていくために, 次の命題も示しておきましょう. とても大事な命題です. 命題 3. 正規部分群の定義. 群 G の剰余類が任意の g ∈ G で， gH = Hg. となるような G の部分群 H を 正規部分群 といい， H G とかく．. このように定義した正規部分群に対して次の命題が成り立ちます．. 命題. 群 G の部分群 H に対して， H が任意 g ∈ G で， H = {ghg−1 | h ∈ H}:= gHg−1. を満たすことと， H が任意の g ∈ G で， gH = Hg. を満たすことは同値である．. 証明. H が任意 g ∈ G で H = gHg−1 を満たすとする ．. 任意の h ∈ H を取ると，ある h′ ∈ H があって ghg−1 =h′ よって gh =h′g が成り立つので， gH ⊂ Hg ．. |yoi| mxb| nso| dff| ync| nrp| rzq| rzt| swe| gpn| obo| cot| uiw| www| jal| muc| rfb| fog| pig| phz| nga| leu| ibv| cdv| ohe| skn| fbs| pko| gkq| qvi| wse| dca| pdw| pcy| ecp| chw| qka| plp| fbe| yhp| cug| lvh| zdn| fib| wig| utu| kcc| iyy| wln| nje|