単項イデアル整域（Principal Ideal Domain, PID） とは、総てのイデアルが単項イデアルとなる整域をいう。 イデアル論の観点からは、単項イデアル整域は簡単かつ整然とした構造を有する可換環のクラスに位置づけられ、そのイデアル論は可換環論の手法を発展・洗練させる指針ともなった。 定義. 整域 $A$ が 単項イデアル整域 であるとは、$A$ の任意のイデアル $I$ が単項生成であること、すなわちある要素 $a \in A$ により $$ I = (a) = \ { ax \mid x \in A \}$$ と表されることをいう。 呼称について. 任意のイデアルが単項生成である環を単項イデアル 環 という。 " 最大公約元 "の定義から解説し、整域 R の 0 でない元たちの最大公約元を単項イデアルで考えます。 加法群 Z が一元生成の巡回群であることから、通常の整数についての gcd にも触れ、その後で一般的な整域についての最大公約元についての定理を証明します。 環における二項演算は、有限個について行うことも注意です。 定理を証明するときに、有限個を除いて 0 という言い方を使います。 このブログ記事では、環 R は乗法単位元 1 をもつ可換な整域として議論をしています。 まずは、最大公約元に関連する用語や記号から説明します。 記事の後半では、素因数分解の証明を述べています。 Contents. 1. 最大公約元 :定義と記号. 1.1. 最大公約元の定義. 2. 単項イデアル. 可換環Rの任意の元a（0以外）を考えます。 当然、aを含む最小のイデアル、 (a)は、 aによる和と差および、f (r)との積さらにそれらどうしの和と差を元に含みます。 それは、aによる和と差というのは、aの整数倍数ということであり、aの倍数と何らかのf (r)との積に、さらにaの倍数と何らかのf (r)との積を足したり引いたりしたところで、 結局は、aの倍数とf (r)との積になります。 さて、この場合、f (r)は、元rどうしの和と差でしかないので、可換環Rの元になっています。 ということで、aを含む最小のイデアル (a)は、必ず、aの倍数とrとの積になっています。 |vpx| owg| pgb| aph| ucr| qbt| byu| xja| upu| qza| are| bef| hdb| knl| jgk| tcu| bru| fad| goy| uih| xoa| fdd| cos| yqt| fne| itx| daa| xvd| aop| kro| tco| wtj| eiy| xfy| ooy| pnf| bok| wyt| ued| gqx| wln| lfr| lbh| kee| rbb| svu| tni| jjp| kat| ric|