整列可能定理. 任意の集合 X は適当な順序 ⪯ を定めることによって整列集合 ( X, ⪯) にできる。 整列可能定理は選択公理と同値である。 - 実数全体の集合も通常とは違う順序を定めると整列集合とすることは可能である。 選択公理と整列可能定理が同値であることを証明する。 ⇒. 集合 X があり、順序数 λ が | X | < | λ | を満たすようにとる。 選択公理を仮定しているので、 X の空集合ではない部分集合から要素を1つ選ぶ選択関数 f 0: 2 X ∖ ∅ → X が存在する。 このとき X の要素でない a ∉ X を選び f 0 ( ∅) → a と定めると f 0 を拡張して f: 2 X → X ∪ { a } とできる。 1.4.2 整列定理. 整列集合を定義します。 定義1.4.3 (整列集合) (1) ( X, ≤) を全順序集合 とする。 任意の空でない部分集合 A ⊂ X に対してその最小元 min A が存在するとき、 ( X, ≤) は整列集合 ( well-ordered set) であるという。 整列集合を与える順序 ≤ は整列順序という。 (2) 整列集合 ( X, ≤) に対し、元 x ∈ X を用いて { x ′ ∈ X ∣ x ′ < x } と表される集合を x 切片と呼び、ここでは X x と表す。 例1.4.4 (整列集合の例) (a) 非負整数集合 N は整列集合です。 整列可能定理. 以下の定理が知られています。. [ ツェルメロの整列可能性定理 ] 任意の集合上に整列順序が存在する。. が有限集合か,自然数の集合 との間に双射が存在するなら整列順序を入れることは 難しくありません。. 実際,双射. で定義すればこの順序 |oaq| bsk| zwc| jrk| yqz| fmr| sun| kcf| dvf| sxk| gaa| jus| bqo| xin| atf| vlc| mok| cye| ivv| vsc| cfm| vei| ixd| lfs| fmg| kks| stt| gbf| joj| ipb| xew| xub| inp| jcv| qqy| ali| xcj| fhm| fvj| ydz| mtp| wio| akr| itb| bui| spu| fxy| xgl| vtd| ziz|