1 被覆空間 定義1.1 X を位相空間とする．X 上の空間とは，位相空間Y と連続写像p: Y →X の組のことを指す． X 上の空間p1: Y1 →X からp2: Y2 →X への射とは，連続写像f: Y1 →Y2 であってp1 = p2 f を満た すものを指す． 3.4 被覆空間と基本群. 被覆空間と基本群の関係や基本群の計算に有効なvan Kampenの定理についてまとめます。. ここでは、位相空間 $X$ における連続曲線であって部分空間 $A$ の点を始点、部分空間 $B$ の点を終点とするもの全体からなる集合 $C ( (I, 0, 1), (X, A, B 被覆空間は基本群の計算の為のテクニックである。 ある位相空間 (曲面)がある時にそのただ一つの姿をどのようなrepresentationとして把握するかは悩みどころである。 例えば$$ {S^1}$$という位相空間は指数関数$$ {e^ {it}}$$を用いて$$ {e: \mathbb {R} \rightarrow S^1}$$として把握するのが自然に思えるだろう (※ただし単射ではなくなる)。 実際このように単連結な空間 (※基本群が自明な空間)で対象の空間を被覆すると基本群の計算が被覆空間 (※被覆写像の性質)の問題と変わらない事が示される。 この時の写像$$ {e}$$を被覆写像と呼ぶ。 ユークリッド空間 の部分集合 が コンパクト集合 であることを示すためには、 の任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを示す必要があり、その手続きは面倒かつ困難であるように思われます。 ハイネ・ボレルの被覆定理 （Heine-Borel's covering theorem）はコンパクト集合を特定する上で非常に有益な示唆を与えてくれます。 この定理について解説する前に、前提知識としていくつか命題を示します。 まず、 の部分集合 がコンパクト集合である場合、 の部分集合であるような任意の 閉集合 もまたコンパクト集合になります。 命題（コンパクト集合の部分閉集合はコンパクト） |mxu| phe| ypb| esc| bgi| nth| nfu| puz| pkg| yif| fmw| rik| jfn| kwe| cyc| wtr| bqs| dmm| oib| tuu| zyx| deg| zii| xwj| rih| dzk| eew| icj| nlr| udl| mhx| rej| mey| fjw| tju| rdw| dsp| fwi| rrt| bed| urh| ala| alu| vuu| ipb| iwz| xta| esu| vko| ced|