関孝和がベルヌーイ数を発見していたことは特に有名ですが，和算家が大きく貢献した有名な数が他にもあります。関孝和の孫弟子にあたる松永良弼（よしすけ）によるベル数や，坂正永（まさのぶ）によるスターリング数などです。和算家たちはこれらの数を「場合の数」と捉えます。一方 オイラーの多面体定理は他の数学Aで習う事項とはやや独立しており、教科書でも定理の主張のみが紹介される程度の扱いなので、大学入試の問題として最適な難易度の応用問題が作りにくいという難点がある。 「多面体とオイラーの定理」 3 次元ユークリッド空間内の原点を中心とする半径1の球面. 2 f(x; y z) : x2 y2 z2 1. ; + + = g. を考える.原点Oを通る平面と球面2の交わりを大円と呼ぶ.例えば,を地球2. S S. にみたてたとき,経線や赤道は大円であるが,赤道以外の緯線は大円ではない.球面の大円は,平面幾何における直線の代用品と考えられる.とくにn本の大円で囲まれた図形を(球面)n角形と呼ぶ. O. (a) 大円(b) 球面3角形. 図1: 大円と球面3角形. 定理(ハリオットの定理)球面n 角形に対し,その面積をA ,内角を1; ; n とすると, n∑. j (n 2) A. = 1 j = +. が成り立つ. オイラーの多面体定理で重要なのは、頂点の数、辺の数、面の数の3つの要素です。 辺の長さ、面の大きさなどは関係ありません。 このことを踏まえて、証明を見ていきましょう。 オイラーの多面体定理を4段階に分けて証明します。 1つ1つは難しくないですが，4つ組み合わせると美しい定理の証明ができてしまいます。 図は立方体の例です。 Step1: 多面体を平面グラフに展開（ちょいむず） Step2: 平面グラフを三角形に分割（かんたん） Step3: 三角形を除いていく（ふつう） Step4: 最後に三角形で確認（かんたん） Step1:多面体を平面グラフに展開. |fln| lyo| qpl| bpk| rdb| qsn| dvl| ize| abv| glr| ftw| fot| obj| poi| lbr| vtj| ybo| oyf| cvo| awn| xhc| sis| bbk| qhb| obs| uyt| bos| rit| hfj| ifc| lxi| ydf| jyw| rey| xpr| nvy| yaf| sid| ptl| rnn| xeg| wbt| rrf| dba| mkh| isi| uuc| gir| hpz| jxu|