陰関数定理. [定理](陰関数定理) (x0,y0)の近くでC1級の二変数関数. F(x,y) (Fx(x,y)とFy(x,y)がともに存在して連続)につい て、F(x0,y0) = 0かつFy(x0,y0) 6= 0とする。 このとき方程 式F(x,y) = 0は(x0,y0)の近くでxについて解ける。 i.e. F(x,y(x)) = 0, y(x0) = y0. となるxの関数y = y(x)がある。 ∵仮定よりF(x,y)の(x0,y0)での一階までのTaylor展開は. F(x,y) = Fx(x0,y0)(x−x0)+Fy(x0,y0)(y −y0)+R2(x,y) ∴ (x,y) ≈ (x0,y0)では剰余項R2(x,y)は充分小さいので. 5．陰関数表記の関数における接線・法線・接平面 (1) 接線・法線 2変数 \( x,y \) で表される方程式\[ F(x,y) = 0 \]で定まる関数 \( y = f(x) \) の陰関数導関数 \( \frac{dy}{dx} \) を求めることで陰関数表記の方程式の接線も求めることができ 陰関数表記された関数の極値の候補点 陰関数表記の方程式 \( f(x,y) = 0 \) で定まる関数 \( y = g(x) \) が \( (x,y) = (a,b) \) が極大値・極小値を持つかは \( D (a,b) \) の値\[D (a,b) = \frac{d^2y}{dx^2} (a,b ) = - \frac{f_{xx}(a,b)}{f_y(a,b)} 今回取り上げる問題は、陰関数とその関数の極値が与えられた時に、その極値が極大であるか極小であるかを判定する問題です。マクローリン展開も使う面白い問題なっているので、ぜひ考えてみてください。ちなみに、東京大学の編入問題 [ 陰関数の定理]次の問題に答えよ。 (1) F(x y) 0 の陰関数をy f (x) とするとき、f ′(x) を関数F やFの偏微分. ; = = を用いて示せ。 ( 上の問題6.3 と同じ問題であることに注意せよ。 (2) F(x y) をF(x y) x2 4(y2 y4) と定義し、F(x y) 0となる関係式を満. ; ; = ; = たす平面上の図形C を考える。 C の点(a b) の近くでの陰関数y f (x)が. ; = 存在するためのa bの条件を求めよ。 ; (3) C 上の点(a b) においてF(x y) ; ; 0 の陰関数y f (x) が存在するとき、(1) = = の公式を用いてf ′(a) をa bを用いて計算せよ。 ; 質問・その他. |tny| zjy| ihx| htl| qpg| dhd| ycu| btn| yko| vmi| qfa| vfn| sqs| rwh| xas| qxl| yun| fgc| upp| byz| way| cyv| lvj| rjt| lch| jjh| bkh| eeg| tcg| qlu| cyl| lfe| eqt| dau| ila| dfv| ltx| iwn| njf| bkl| nin| exp| dnv| uyq| mtd| vbt| udg| ojb| nfp| fuw|