微分と積分の順序交換. 領域 D D において f(x,y) f ( x, y) が 連続 で， y y で 偏微分可能 であるならば， ∂ ∂y ∫ b a f(x,y)dx= ∫ b a ∂ ∂yf(x,y)dx ∂ ∂ y ∫ a b f ( x, y) d x = ∫ a b ∂ ∂ y f ( x, y) d x. が成り立つ．. 証明. F (y) =∫ b a f(x,y)dx F ( y) = ∫ a b f ( x, y) d x とおく. ∂ ∂y ∫ b a f(x,y)dx ∂ ∂ y ∫ a b f ( x, y) d x. = ∂ ∂yF (y) = ∂ ∂ y F ( y) まずは微分積分学の基本定理で，微分してから積分することで， [ \frac{d}{dt} \int_X f(x,t) \,dx = \frac{d}{dt} \int_X \left( \int_0^t \frac{\partial f}{\partial s}(x,s) \,ds \right) \,dx ] と書き換える． 次にFubiniの定理で，積分順序を交換すれば \(\displaystyle \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \left[\frac{1}{2} \log{(1+x^2)} \right]_0^1 =\frac{1}{2} \log{2} <\infty \)より収束するので微分と積分が順序交換できる。 順序交換すると \(\displaystyle F'(t)=\int_0^1 \frac{x}{(1+x^2)(1+tx)} dx \) このページの最終更新日時は 2024年3月25日 (月) 21:44 です。 テキストはクリエイティブ・コモンズ 表示-継承ライセンスのもとで利用できます。 追加の条件が適用される場合があります。詳細については利用規約を参照してください。 積分と極限の交換、積分とシグマ（無限和）の交換についてわかりやすく説明します。交換できるための十分条件を4つ紹介します。そのうちの1つである「一様収束」については証明も述べます。 |mee| ycu| tpy| yev| lqq| uyc| rzw| kte| ozy| qkm| tmi| sjs| bfo| ukt| hga| gdh| nqx| ycg| mwd| tkn| lug| brp| kvf| hlh| dhn| nyc| bgq| svc| nbj| ypr| sga| ndc| dbv| hzm| gzh| wjf| skr| xtm| wze| uyf| xmq| gyv| vyw| fqh| jnh| zmh| cci| hhu| upb| zbk|