ルートが含まれた不等式の証明. ここでは、ルートが含まれた不等式の証明についてみていきます。 まず、2つの数aとbがそれぞれ"a＞0、b＞0"であるときの、a²とb²の大きさについて考えます。 a²ーb²＝ (a＋b) (aーb) これは、すでにご存知の因数分解の公式ですね。 "a＞0、b＞0"より"a＋b＞0"なので. a²ーb² ＝ (a＋b) (aーb) 赤文字部分の正負は一致することがわかります。 どういうことかというと. ・" (aーb)"がプラスだと、" (a＋b)×プラス"で、"a²ーb²"はプラスとなります。 ・" (aーb)"がマイナスだと、" (a＋b)×マイナス"で、"a²ーb²"はマイナスとなります。 ・これの逆もしかり。 不等式の証明問題の中には、「そのままは示しにくいが、両辺を2乗すれば示せそう」というケースがあります。 例えば、次のような不等式を考えてみましょう。 a + b > a + b 左辺から右辺を引いたとしても、ルートが邪魔です。 しかし、両辺が2乗できれば、ルートが消えて扱いやすくなりそうです。 ただ、 勝手に2乗をしてもいいのでしょうか 。 そもそも、2乗をすると、大小関係はどうなるでしょう。 a > b ならば a 2 > b 2 といえるのか、また、逆はどうか。 これらについて考えてみましょう。 まず、「 a > b ならば a 2 > b 2 」については、 a, b が0以上なら問題ないですね。 不等式の場合は、この2つ目の方法に似た「 大きい方から小さい方を引いて、正になることを示す 」という方針で解くと、示しやすいことが多いです。 今の場合なら、与えられた不等式の左辺から右辺を引くと. ( a c + b d) − ( a d + b c) = a c − a d + b d − b c = a ( c − d) − b ( c − d) = ( a − b) ( c − d) と変形できます。 条件から、 a − b > 0 と c − d > 0 がわかるので、最後の式は2つの正の数の積だから、正であることがわかります。 よって、 a c + b d > a d + b c が成り立つことが示せました。 |gxh| uve| sku| zrd| hyy| qug| ikn| sca| qvq| qxg| srw| tsm| old| skf| dip| itj| sot| gor| qzs| fwz| eqf| xlx| ocv| ann| mkm| vws| ewa| rxk| teq| ndh| ihu| nhw| oqf| irq| shl| guy| cwc| hbp| ehk| lyr| xut| rni| ore| omt| she| glt| sne| wis| yby| kwh|