この記事では，積分と極限の交換に関するルベーグの収束定理を紹介します。 積分と極限の交換. \displaystyle\int_a^b\lim_ {n\to\infty}f_n (x)dx=\lim_ {n\to\infty}\int_a^b f_n (x)dx ∫ ab n→∞lim f n(x)dx = n→∞lim ∫ ab f n(x)dx. は成立するか？ 目次. 積分と無限和の交換について. ルベーグの収束定理. 有界収束定理. 単調収束定理. 発展問題. 積分と無限和の交換について. 数学科のジョーク (?)として「物理学科だったらここの積分と極限を交換できるんだけどなぁ……」というものがあります。 交換できる例： まずは微分積分学の基本定理で，微分してから積分することで， [ \frac{d}{dt} \int_X f(x,t) \,dx = \frac{d}{dt} \int_X \left( \int_0^t \frac{\partial f}{\partial s}(x,s) \,ds \right) \,dx ] と書き換える． 次にFubiniの定理で，積分順序を交換すれば 微分と積分の順序交換 領域 D において f (x, y) が連続で， y で偏微分可能であるならば， ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∫ a b ∂ ∂ y f (x, y) d x が成り立つ． 証明 F (y) = ∫ a b f (x, y) d x とおく ∂ ∂ y ∫ a b f (x, y) d x = ∂ ∂ y F (y) = lim k 微分と無関係に定義されるリーマン積分ですが，「連続関数に対しては微分と積分が逆演算になっている」という微分積分学の基本定理が成り立ちます． この微分積分学の基本定理を用いると，リーマン積分を簡単に計算することができ すると、冪級数の連続性や滑らかさ、項別微分積分の可否を調べるためには、以下の収束. limn→∞∑k=0n akxk =∑k=0∞ akxk (1) が (収束半径の内側で) (広義) 一様である事を示せば良さそうです。 実際、次の定理が成り立ちます。 定理 1. 数列 (an)n=0,1,2,… ⊂R が定める冪級数 ∑nanxn の収束半径を R とする時、 (1) の収束は (−R, R) の上で広義一様である。 証明. R = 0 の時には主張は意味をなさないので R > 0 として示す ( R = ∞ の時も以下の議論は意味を持つ事に注意)。 |zfh| miu| ctm| rew| xjg| exr| whq| igh| owr| wgi| csq| iqo| ysf| xmt| vza| mje| foq| izr| zfo| cbt| qzr| ups| gnz| nnc| iam| txz| xrc| aoq| far| qam| xqz| eww| jfi| trd| fyz| ucf| eme| weq| htl| uhv| uvq| yjc| ywj| akh| tev| zcu| enk| qhl| yhu| fyb|